一、矩阵元素运算

1.矩阵的加减运算

前提是参与运算的两个或多个矩阵均为m*n矩阵；或者其中一个或多个矩阵为标量

• C = A±B：C(m,n) = A(m,n) + B(m,n)
• C = A±x：C(m,n) = A(m,n) + x

矩阵运算满足加法法则，交换律、结合律

2.矩阵的乘法运算

数与矩阵的乘法：

由于MATLAB中单个数据都是以标量的形式存在，因此数与矩阵的乘法也可以从称为标量与矩阵的乘法

• C = x*A：C(m,n) = x*A(m,n)、
• l*A = A
• x(A+B) = xA+xB
• (x+y)A = xA+yA
• (xy)A = x(yA) = y(xA)

矩阵与矩阵的乘法：

两个矩阵的乘法必须满足被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相等，即C’m,n’ = A’m,k’ * B’k,n’，这满足我们所选的线性代数的要求。

矩阵之间的乘法不满足交换律，即AB ≠ BA

• (A*B)*C = A*(B*C)
• A*(B+C) = A*B + A*C
• (B+C)*A = B*A + C*A
• E*A = A*E = A                         %E为单位阵

3.矩阵的除法运算

矩阵的除法是乘法的逆运算，在MATLAB中共分为左除‘\’与右除‘/’两种。

• A\B表示A的逆乘以B，要求A与B的行数相等
• A/B表示A乘以B的逆，要求A与B的列数相等
• 除非A与B等价，否则A\B ≠ A/B

4.矩阵的幂运算

当矩阵A为方阵时，可进行矩阵的幂运算。其运算符号为‘^’

其中，A^2 = A*A

5.矩阵元素的查找

find()函数被用来查找矩阵中的信息，其返回值是要查找值的下标。（注意MATLAB中矩阵元素的下标排列定义方式）

6.矩阵元素的排序

sort()函数的作用设计按照升序排列，排列后的矩阵与元矩阵的维数相同

• B = sort(A)：对矩阵A进行升序排列，A可以是矩阵或向量
• B = sort(A,dim)：对A进行升序排列，并将结果返回到给定的维数dim上按照升序排列。    dim = 1时，按照列升序排序；dim = 2时，按照行进行排序
• B = sort(…，mode)：对矩阵A进行排序，mode可指定排序方式。    ascend：指定按升序排列；           descend：指定按降序排列

7.矩阵的求和

sum()函数与cumsum()函数的作用都是对矩阵的元素求和，不同的是cumsum函数返回值是矩阵

• B = sum(A)：对矩阵A的元素求和，返回由矩阵A各列元素的和所组成的向量
• B = sum(A,dim)：返回矩阵A在给定维度dim上的元素和。   dim = 1时，计算各列元素的和；dim = 2时，计算各行元素的和
• B = cumsum(A)
• B = cumsum(A,dim)

8.矩阵元素的求积

prod()与cumprod()的作用是对矩阵的元素求积。

• B = prod(A)：对矩阵A的元素求积，返回由矩阵A各列元素的积所组成的向量
• B = prod(A,dim)：返回矩阵A在给定维度dim上的元素积。    dim = 1时，计算各列元素的积；dim = 2时，计算各行元素的积
• B = cumprod(A)
• B = cumprod(A,dim)

9.矩阵元素的差分

diff()函数的作用是计算矩阵的差分

• Y = diff(X)：计算矩阵X各列元素的差分
• Y = diff(X,n)：计算矩阵X各列元素的n阶差分
• Y = diff(X,n,dim)：计算矩阵X在给定维度dim上的n阶差分。  dim = 1时，计算各列元素的差分；dim = 2时，计算各行元素的差分

二、矩阵运算

1.矩阵分析

求向量范数（norm）：

• N = norm(x,p)：对任意大于1的p值，返回向量x的p阶范数
• N = norm(x)：返回向量的2阶范数，相当于N = norm(x,2)
• N = norm(x,inf)：返回向量的正无穷阶范数
• N = norm(x,-inf)：返回向量的负无穷阶范数

求矩阵范数（norm）：

• N = norm(A)：计算矩阵的2阶范数，也就是最大奇异值
• N = norm(A,p)：根据参数p的值不同，求不同阶数的范数值

当矩阵维度比较大时，会导致计算矩阵范数的时间比较长，并且当一个近似的范数值满足要求时，可以考虑用normest()来估计2阶范数值

• N = normest(S)：估计矩阵S的二阶范数值
• N = normest(S,tol)：使用tol作为允许的相对误差

矩阵的秩（rank）：

矩阵A中线性无关的列向量的个数成为矩阵的列秩，线性无关的行向量成为行秩。利用rank()函数计算矩阵的秩

• rank(A)：用默认允许误差计算矩阵的秩
• rank(A,tol)：给定允许误差计算矩阵的秩

矩阵的行列式（det）：

矩阵的迹（trace）：

矩阵的迹定义为矩阵的对角元素之和

矩阵的化零矩阵（null）：

• Z = null(A)：返回矩阵A的一个化零矩阵。若化零矩阵不存在则返回空矩阵
• Z = null(A，’r’)：返回有理数形式的化零矩阵

矩阵的正交空间（orth）：

矩阵A的正交空间Q具有Q’*Q = I的性质，并且Q的列矢量构成的线性空间和矩阵A的列矢量构成的线性空间相同，且正交空间Q与矩阵A具有相同的秩

矩阵的约化行阶梯形式（rref）：

矩阵的约化行阶梯形式是高斯-约旦消去法解法性方程组的结果

• R = rref(A)：返回矩阵A的约化行阶梯形式R
• [R,jb] = rref(A)：返回矩阵A的约化行阶梯形式R，并返回1*r的向量jb，r为A的秩；     A(:,jb)是矩阵A的列矢量构成的线性空间；R(1:r,jb)是r*r的单位矩阵
• [R,jb] = rref(A,tol)：以tol为允许的相对误差计算矩阵A的秩

矩阵空间之间的夹角（snbspace）：

矩阵空间之间的夹角代表两个矩阵线性相关的程度。

若夹角小，则相关度高；反之相关度就低

• theta = subspace(A,B)：返回矩阵A与B之间的夹角

2.矩阵分解

矩阵分解就是把一个矩阵分解成几个‘较简单’的矩阵连乘的形式

对称正定矩阵的Cholesky分解

Cholesky分解在MATLAB中用函数chol()实现

• R = chol(X)：X为对称正定矩阵，R是上三角阵，使得X = R’ * R。若R不是正定矩阵，则返回错误信息
• [R,p] = chol(X)：返回两个参数，且不会返回错误信息。  当X是正定矩阵时，返回的上三角函数R满足X = R’ * R,且p = 0；    当X是非正定矩阵时，返回值p是正整数，R是上三角矩阵，其阶数为p-1，且满足X(1 : p-1, 1 : p-1) = R’ * R

若线性方程组Ax = B，其中A可以做Cholesky分解，使得A = R’ * R，这样线性方程组就可以改写成R’ * R * x  = B，再根据左除运算符‘\‘可以快速处理三角矩阵，因此可得出

x = R\(R’\B)

若A为n*n的方阵，则chol(A)的计算复杂程度是O(n^3)；而使用左除运算的计算复杂程度只有O(n^2)

一般方程的高斯消去法分解

高斯消去法分解又称LU分解，他可以将任意一个方阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = L·U。

• [L,U] = lu(X)；X为一个方阵，L为’心理‘的下三角阵，U为上三角阵，满足关系X = L·U
• [L,U,P] = lu(X)：P为置换矩阵，满足关系P·X = L·U
• Y = lu(X)：把上三角阵与下三角阵合并在矩阵Y中给出，即Y = L+U-I，置换矩阵P的信息丢失

若线性方程组Ax = b，若矩阵A可以做LU分解，使得A = L·U，则线性方程组可以改写成L·U·x = b,则可以解出

x = U\(L\b)

利用LU分解来计算行列式的值和矩阵的逆，其命令形式如下：

• det(A) = det(L) * det(U)
• inv(A) = inv(U) * inv(L)

矩形矩阵的正交分解

矩形矩阵的正交分解又称为QR分解。QR分解把一个m*n的矩阵A分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A = Q · R

• [Q,R] = qr(A)：其中矩阵R与矩阵A具有相同大小的上三角矩阵，Q为正交矩阵，他们满足A = Q · R。该调用方式适用于满矩阵和稀疏矩阵
• [Q,R] = qr(A,0)：为‘经济’方式的QR分解。设矩阵A是一个m×n的矩阵，若m>n，则只计算前n列元素，R为n×n的矩阵；若m≤n,则与[Q,R] = qr(A)效果一致。该调用方式适用于满矩阵和稀疏矩阵
• [Q,R,E] = qr(A)：R是上三角矩阵，Q为正交矩阵，E为置换矩阵。满足A · E = Q · R，程序选择一个合适的矩阵E使得abs(diag(R))降序排列。该调用方式适合于满矩阵
• [Q,R,E] = qr(A,0)：‘经济’方式的QR分解，其中E是一个置换矩阵。他们满足A(:,E) = Q · R。该调用方式适合于满矩阵
• R = qr(A,0)：以‘经济’方式返回上三角矩阵R
• [C,R] = qr(A,B)：矩阵B必须与矩阵A具有相同的行数，矩阵R是上三角矩阵，C = Q’ · B

舒尔分解

舒尔分解的定义式为

A = U · S · U’

其中A必须是方阵，U是一个酉矩阵，S是一个块对角化矩阵，有对角线上的1×1和2×2块组成。特征值可以由矩阵S的对角块给出，二矩阵U给出比特征向量更多的数值特征。此外，对缺陷矩阵也可以进行舒尔分解。MATLAB中用函数schur()来进行舒尔分解

[U,S] = schur(A)：返回酉矩阵U和块对角矩阵S

• S = schur(A)：仅返回块对角矩阵S
• schur(A,’real’)：返回的实特征值放在对角线上，而把复特征值放在对角线上的2×2块中
• schur(A,’complex’)：返回的矩阵S是上三角矩阵，并且如果矩阵A有复特征值，则矩阵S是复矩阵

另外，函数rsf2csf()可以把实数形式的舒尔矩阵转换成复数形成的舒尔矩阵。

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