稀疏矩阵

稀疏矩阵定义：含有大量0元素的矩阵

一个稀疏矩阵包括m*3项元素，其中m是原数组中非零项的个数。其第一列是行下标，第二列是列下标，第三列是非零项的值

储存一个浮点数需要8字节，一个下标值需要4字节，则储存整个矩阵需要16*m个字节

1.稀疏矩阵的存储方式

对于稀疏矩阵，MATLAB仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置

2.稀疏矩阵的生成

利用函数sparse(稀疏)建立一般的稀疏矩阵

• sparse(A)：由非零元素和下标生成稀疏矩阵A
• sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵
• sparse(u,v,a)：生成大小为max(u) * max(v)的稀疏矩阵。其中u和v是整数向量，a是实数或者是复数向量
• sparse(u,v,a,m,n)：生成一个m*n的稀疏矩阵，(u,v)是对应值a的坐标
• spconvert(D)：生成一个稀疏矩阵。D有三列，第一列是行下标，第二列是列下标，第三列是非零项的值
• full(S)：将稀疏矩阵S转换成一个满矩阵

spy()函数可以对稀疏矩阵中的非零元素进行图形化显示，采用nnz(S)/prod(size(S))计算稀疏矩阵的非零元素密度

利用特定函数建立稀疏矩阵

• S = speye(m,n)：创建单位稀疏矩阵
• S = spones(X)：创建非零元素为1的稀疏矩阵
• S = sprand(X)：创建非零元素为均匀分布的随机数稀疏矩阵
• S = sprandn(X)：创建非零元素为高斯分布的随机数稀疏矩阵
• S = sprandsym(X)：创建非零元素为高斯分布的随机数对称稀疏矩阵
• S = spdiags(X)：创建对角稀疏矩阵
• S = spalloc(X)：为稀疏矩阵分配空间

3.稀疏矩阵的运算

满矩阵的四则运算法则对稀疏矩阵同样有效，但是返回结果可能是稀疏矩阵或满矩阵。只要参与运算的任一矩阵为满矩阵，则返回结果为满矩阵

稀疏矩阵的数乘与幂计算结果都是稀疏矩阵

特征值与特征向量

1.特征值的定义

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

2.相关函数

• eig(A)：求包含矩阵A的特征值向量
• [X,D] = eig(A)：产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，他们的列是相应的特征向量，满足AX = XD。为了得到有更好条件特征值的矩阵，要进行相似变换
• [T,B] = balance(A)：找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得他们满足B = T-A·T。B是用命令balance求得的平衡矩阵
• eig(A,’nobalance’)：不经过平衡处理求得的A的特征值和特征向量，也就会不进行平衡相似变换
• eigs(A)：返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和eig命令一样，但不是返回全部的特征值。 如果不带有参量，则计算出最大的特征值。当计算所有的特征值时，如果矩阵A的特征值不小于6，则计算出6个特征值
• eigs(f,n)：求出矩阵A的部分特征值。     在使用一个矩阵列的线性运算符时，字符串f中包含的是M文件的文件名，n指定问题的阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求快得多
• eigs(A,B,k,sigma)：求矩阵A的部分特征值，矩阵B的大小与A相同；若没有给出B = eye(size(A))，那么k就是要计算的特征值得个数；若k没有给出就用小于6的数或者A的秩
• condeig(A)：返回一个由矩阵A的特征值条件数组成的向量
• [V,D,s] = condeig(A)：返回[V,D] = eig(A) 和 S = condeig(A)

转载请注明：燕骏博客 » MATLAB自学笔记（九）：稀疏矩阵、特征值与特征向量